Đề thi HSG cấp Thành phố môn Toán 7 - GD&ĐT TP Bắc Ninh 2023-2024 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi HSG cấp Thành phố môn Toán 7 - GD&ĐT TP Bắc Ninh 2023-2024 (Có đáp án)

1. UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023-2024 Môn thi: Toán 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 10/04/2024 Thời gian làm bài: 120 phút, Không kể thời gian phát đề (Đề gồm 01 trang) Bài 1. (4,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 3 3 0,375 0,3 7 5 7 12 30 1) A ; B 11 12 . 23 17 17 23 23 5 5 0,625 0,5 11 12 2) Cx 3 y 2 z , biết xy 5; yz 8. Bài 2. (4,0 điểm) 112 3 1) Tìm x biết : x . 2 2 3x 1 7 y 4 3 xy 7 5 2) Tìm x, y thỏa mãn: . 4 5 3x Bài 3. (3,0 điểm) 3 2 2 12a 3 b 5 c a 1) Cho b ac; c bd ( a,,, b c d khác 0). Chứng minh rằng: . 12b 3 c 5 d d 2) Cho a,,, b c d là các số nguyên dương thỏa mãn a2 b 2 c 2 d 2 2024 2023 . Chứng minh rằng a b c d là hợp số. Bài 4. (7,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông tại AB,  2 C kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HB . Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại E . a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng DE DH; HE // AC . c) Gọi K là giao điểm của AH và CE, lấy điểm I bất kỳ thuộc đoạn thẳng HE I HI, E . 3AC Chứng minh rằng IA IK IC. 2 2) Cho tam giác ABC có BAC 15 , ABC  45 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD 2 CB . Tính số đo ADC . Bài 5. (2,0 điểm) 1) Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp 99 lần tổng tất cả các chữ số của nó. Tìm số may mắn có bốn chữ số. 2) Cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1. Hết Họ và tên thí sinh SBD (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
2. UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH HDC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THÀNH PHỐ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2023-2024 Môn : Toán 7 Câu Đáp án Điểm 7 5 7 12 30 1 A 1,5 23 17 17 23 23 7 5 7 12 30 7 5 12 30 A 0,75 23 17 17 23 23 23 17 17 23 7 30 23 .1 1. 23 23 23 0,75 3 3 0,375 0,3 B 11 12 5 5 1,5 0,625 0,5 11 12 3 3 3 3 3 3 0,375 0,3 8 10 11 12 B 11 12 5 5 5 5 5 5 0,625 0,5 11 12 8 10 11 12 0,75 1 1 1 1 3. 8 10 11 12 3 1 1 1 1 5 0,75 5. 8 10 11 12 Cx 3 y 2 z , biết xy 5; yz 8. 1,0 Ta có Cxyzxy 3 2 2 yz 0,5 Thay xy 5; yz 8 vào C ta được: C 5 2. 8 11 0,5 112 3 2.1 Tìm x biết : x . 2,0 2 2 112 3 x 112 3 2 2 x 2 2 11 3 x2 2 2 11 3 TH1: x2 x 2 4 x 2 2 2
3. 112 3 2 TH2: x x 7 x 7 2 2 Vậy x 2; 7 3x 1 7 y 4 3 xy 7 5 Tìm x, y thỏa mãn: 2.2 4 5 3x 2,0 1 x 3x 1 0 3 + Nếu 3x 7 y 5 0 thì 7y 4 0 4 y 0,5 7 + Nếu 3x 7 y 5 0 thì áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 3x 1 7 y 4 3 xy 7 5 3xy 7 5 3 xy 7 5 0,75 0 x 3 4 5 9 9 3x 3.3 1 7y 4 Từ (1) y 2 4 5 0,75 1 4  Vậy x, y ; , 3;2  3 7  3 2 2 12a 3 b 5 c a 3.1 Cho b ac; c bd ( a,,, b c d khác 0). Chứng minh rằng: . 1,5 12b 3 c 5 d d a b Từ b2 ac suy ra ; b c b c Từ c2 bd suy ra . c d 0,5 a b c Do đó: b c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: abc12 abc 3 5 0,5 b c d12 b 3 c 5 d 3 3 a12 abc 3 5 Suy ra b12 b 3 c 5 d 3 abc 12 a 3 b 5 c Hay 0,5 b c d 12 b 3 c 5 d 3 a 12 abc 3 5 Vậy d 12 b 3 c 5 d Cho a,,, b c d là các số nguyên dương thỏa mãn a2 b 2 c 2 d 2 2024 2023 . Chứng minh 3.2 1,5 rằng a b c d là hợp số.
4. Xét hiệu abcd2 2 2 2 abcdaabbccdd 2 2 2 2 0,5 a a 1 b b 1 c c 1 d d 1 Chứng minh được: a a 12; b b 12;  c c 12;  d d 12  0,5 Do đó : a2 b 2 c 2 d 2 a b c d 2 mà a2 b 2 c 2 d 2 2024 2023 2 a b c d2 , lại có a,,, b c d là các số nguyên dương nên a b c d 2 0,5 Suy ra: a b c d là hợp số. Cho tam giác ABC vuông tại AB,  2 C kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HB . Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AD tại E. a) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao? 4.1 5,0 b) Chứng minh rằng DE DH; HE // AC . c) Gọi K là giao điểm của AH và CE, lấy điểm I bất kỳ thuộc đoạn thẳng HE 3AC I HI, E . Chứng minh rằng IA IK IC. 2 A 1 D 1 0,5 C B H 1 2 1 I 1 E K 1) Tam giác ABD là tam giác gì? Vì sao? 1,5 Ta có: ABC vuông tại A,suy ra + = 90 0,5 Mà = 2 nên = 30; = 60 Chứng minh AHB AHDcgc(. .) AB AD nên ABD cân tại A 0,5 Mà = 60 ⇒ 훥 là tam giác đều. 0,5
5. 2) Chứng minh rằng DE DH; HE // AC . 2,0 * Chứng minh: DH DE Chứng minh AHD CED (cạnh huyền – góc nhọn) 0,75 Suy ra DH DE * Chứng minh: HE // AC . Ta có: ABD là tam giác đều (cmt);suy ra = 60, = = Suy ra = − = 90 − 60 = 30 0,75 ADC có = = 30 nên ADC cân tại D, suy ra AD CD và = 180 − 2 = 180 − 2.30 = 120 Suy ra = = 120 Do HDE cân tại D⇒ = = = = 30 0,75 Suy ra = = 30 ⇒ // 3AC 3) Chứng minh rằng IA IK IC. 1,0 2 AEC AEKgcg( ) AC AK ACK cân tại A Ta có: 퐾 = + = 30 + 30 = 60 nên ACK là tam giác đều 0,5 Suy ra: AC CK AK3 AC AC CK AK (3) Áp dụng BĐT tam giác vào các tam giác AIC,, CIK KIA có: AC IA ICCK; IC IKAK ; IA IK AC CK AK 2 IA IC IK 4 0,5 3AC Từ (3) và (4) suy ra : 3AC 2 IAIC IK IAIC IK 2 Cho tam giác ABC có BAC 15, ABC  45 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D 4.2 2,0 sao cho CD 2 CB . Tính số đo ADC . D C E F A B Kẻ DE CA 0,75 Xét ABC , có ACB 1800 45 0 15 0 120 0
6. ACD 600 hay ECD 600 EDC 30 0 Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EC EF . Ta chứng minh được DCF đều 1 CE CD CE CB 2 CBE CEB 300 EDC EBD cân tại E . 0,75 CBE 300 EBACBACBE 450 30 0 15 0 BEA cân tại E. EA EB ED AED vuông cân ADE 450 0,5 Vậy ADC ADE EDC 750 Một số nguyên dương được gọi là số may mắn nếu số đó gấp 99 lần tổng tất cả các chữ 5.1 1,0 số của nó. Tìm số may mắn có bốn chữ số. Giả sử số cần tìm là => = 99( + + ⋯ + ) Suy ra 1000. + 100. + 10. + = 99( + + + ) 0,25 hay 901 + = 89 + 98 ( ) do 89 + 98 ≤ 89 + 98 . 9 = 1683 nên a1 = 1. 0,25 Khi đó = 10 − + Giải thích được 11 + − 9 = 0 và tìm được a2 = 7, a4 = 2, a3 = 8 và a1 = 1. Vậy số cần tìm là 1782. 0,5 Cho tam giác ABC vuông tại A, độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam 5.2 giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm 1,0 có khoảng cách không lớn hơn 1. Chia cạnh huyền BC thành 2015 đoạn thẳng bằng nhau. Từ các điểm chia đó vẽ các đường thẳng song song với hai cạnh AB và AC ta được 2015 tam giác vuông 0,5 cân có cạnh huyền bằng 1 và (2014 + 2013 + + 1) hình vuông có đường chéo bằng 1. Do đó trong tam giác ABC có tất cả 2015 + (2014x2015)/2 = 2031120 hình (vừa hình vuông có đường chéo bằng 1 vừa tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng 1). Như vây trong 2031121 điểm sẽ tồn tại ít nhất hai điểm nằm trong một hình nào 0,5 đó. Với hai điểm đó thì khoảng cách của nó không lớn hơn 1 (đpcm) HẾT