›
›
›

108 bài toán chọn lọc Lớp 7

pdf 21 trang Linh Nhi 26/12/2024 600
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "108 bài toán chọn lọc Lớp 7", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên.

File đính kèm:

  • pdf108_bai_toan_chon_loc_lop_7.pdf

Nội dung text: 108 bài toán chọn lọc Lớp 7

  1. TS. Nguyễn Văn Lợi (chủ biên)-Ths. Hoàng Văn Tựu 108 BÀI TOÁN CHỌN LỌC LỚP 7 t f a r D
  2. Đôi lời với các bạn đọc Tài liệu này được biên soạn bao gồm những bài toán được sưu tầm và lựa chọn từ những tài liệu, giáo trình có uy tín, được nhiều ngườiưa thích. Bao gồm các bài toán chủ yếu dành cho những học sinh khá, giỏi. Với phương châm, học vừa đủ nhưng mỗi ngày mỗi tiến bộ. Đồng thời, nhằm giúp quý phụ huynh, quý thầy, cô và các em học sinh có tài liệu tốt để tham khảo. Trong tài liệu này, chúng tôi trích lời giải một số bài toán hay đểmọi người cùng tham khảo. Việc biên soạn rất có thể có những sai sót khôngđáng có, chúng tôi mong nhận được ý kiến góp ý của quý vị. Xin chân thành cámơn! 2
  3. Mục lục 1 SỐHỌC VÀ ĐẠISỐ 4 1.1 Tỉlệ thức 4 1.1.1 Bài toán có nội dung tính toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Bài toán có nội dung chứng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm số và đồ thị 6 1.2.1 Tỉlệ thuận và tỉlệ nghịch . . . 6 1.2.2 Hàm số và đồ thịcủa hàm số . . 7 1.3 Biểu thức đại số 8 2 HÌNH HỌC 10 2.1 Quan hệ vuông góc và quan hệ song song. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Các bài toán dựng hình cơbản. . . . . . 14 2.4 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Quan hệ các đường thẳng đồng quy trong tam giác. . . . . . . . . . . . . . 15 2.5.1 Ba đường trung tuyến của tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5.2 Ba đường phân giác của tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5.3 Ba đường trung trực của tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5.4 Ba đường cao của tam giác. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6 Các bài toán có nội dung tính góc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 LỜI GIẢIMỘT VÀI BÀI CHỌNLỌC 18 3
  4. Chương 1 SỐHỌC VÀ ĐẠISỐ 1.1 Tỉlệ thức 1.1.1 Bài toán có nội dung tính toán. Bài 1.1.1 Tìmx trong các tỉlệ thức sau: x 3 5 7 x+1 − = a) = b) x+5 7 x 1 9 − x+4 5 x 1 x 2 = c) − = − d) 20 x+4 x+2 x+3 Bài 1.1.2 Tìm x, y, z biết : x y z a. = = vàx 3y+4z = 62 4 3 9 − x 9 y 7 b. = , = vàx y+z= 15 y 7 z 3 − − x 7 y 5 c. = , = và2x+5y 2z = 100 y 20 z 8 − 12x 15y 20z 12x 15y 20z d. − = − = − vàx+y+z = 48 7 9 11 Bài 1.1.3 Tìm x, y, z biết : a.5x=8y = 20z vàx y z=3 − − 6 9 18 b. x= y= z và x+y+z= 120 11 2 5 − − x y z c. = = và xyz = 20 12 9 5 4
  5. Sigma - MATHS x y z d. = = vàx 2 +y 2 z 2 = 65 5 7 3 − x+2y 3z Bài 1.1.4 Cho biểu thứcP= − . Tính giá trịcủaP biết các số x, y, ztỉlệ x 2y+3z với các số 5, 4, 3. − Bài 1.1.5Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích là 300m 2, hai cạnh tỉlệvới 4 và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. 3 Bài 1.1.6 Tìm hai phân sốtối giản biết hiệu của chúng là , các tửtỉlệvới 3 và 5; 196 các mẫu tỉlệvới 4 và 7. 1 1 Bài 1.1.7 Ba kho có tất cả 710 tấn thóc. Sau khi chuyểnđi số thócở kho I, số thóc 5 6 1 ở kho II và số thócở kho III thì số còn lạiở ba kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho 11 có bao nhiêu tấn thóc? Bài 1.1.8 Cho dãy tỉsốbằng nhau (Giả thiết rằngM có nghĩa): 2a+b+c+d a+2b+c+d a+b+2c+d a+b+c+2d = = = . a b c d a+b b+c c+d d+a Tìm giá trịcủa biểu thứcM, biếtM= + + +  c+d d+a a+b b+c 1.1.2 Bài toán có nội dung chứng minh. a+5 b+6 a 5 Bài 1.1.9 Cho = (a= 5, b= 6). Chứng minh =  a 5 b 6 6 6 b 6 − − a c a b c d Bài 1.1.10 Cho tỉlệ thức = = 1với a, b, c, d= 0Chứng minh rằng: − = −  b d 6 6 a c a x b y a2 x Bài 1.1.11 Cho = ; =  Chứng minh rằng: =  k a k b b2 y bd a c Bài 1.1.12 Choa=b+c vàc= , b= 0, d= 0. Chứng minh rằng: =  b d 6 6 b d − a c 3 5a+3b 5a 3b Bài 1.1.13 Cho = (c= d) Chứng minh rằng: = −  b d 6 ± 5 5c+3d 5c 3d − a c Bài 1.1.14 Cho = = vàc= 0. Chứng minh rằng: b d 6 ± 6 a b 2 ab a. − =  c d cd ( − ) a+b 3 a3 b 3 b. = −  c+d c3 d 3 ( ) − 5
  6. Sigma - MATHS a b a2 +b 2 ab Bài 1.1.15 Chứng minh rằng = thì = . c d c2 +d 2 cd a2 +b 2 a Bài 1.1.16 Chob 2 = ac Chứng minh rằng =  b2 +c 2 c Bài 1.1.17 Chob 2 = ac, c2 = bd,với b, c, d= 0, b+c= d, b 3 +c 3 =d 3 6 3 6 6 a3 +b 3 c 3 a+b c Chứng minh rằng: − = −  b3 +c 3 d 3 b+c d − ( − ) Bài 1.1.18 Cho các số A, B, Ctỉlệvới các số a, b, c. Chứng minh rằng giá trịcủa biểu Ax+By+Cz thứcQ= không phụ thuộc vào giá trịcủax vày. ax+ by+ cz ax+ by Bài 1.1.19 Cho biểu thứcM= với c, d= 0. Chứng minh rằng nếu giá trịcủa cx+ dy 6 biểu thứcM không phụ thuộc vàox vày thì bốn số a, b, c, dlập thành một tỉlệ thức. a2 +b 2 ab a c Bài 1.1.20 Cho = với a, b, c, d= 0, c= d Chứng minh rằng hoặc = c2 +d 2 cd 6 6 ± b d a b hoặc =  d c 1.2 Hàm số và đồ thị. 1.2.1 Tỉlệ thuận và tỉlệ nghịch. Bài 1.2.1 Viết công thức biểu thịsự phụ thuộc giữa: a Chu viCcủa hình vuông cạnhx. b Chu viCcủa đường tròn bán kínhR c Diện tíchScủa hình chữ nhật có một cạnh là 5(cm) và cạnh còn lại làx(cm). d Diện tíchScủa hình tam giác có cạnhđáy là 4(cm) và chiều cao làh(cm). e Chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích là 12(cm2) và một cạnh có độ dài là x(cm). f Đường cao của một hình tam giác có diện tích là 10(cm2) và cạnhđáy có độ dài là x(cm). Bài 1.2.2Một công nhân tiện 30đinhốc cần 45 phút. Hỏi trong 1h45 phút, ngườiđó tiện được bao nhiêuđinhốc. Bài 1.2.3Một con ngựaăn hết một xe cỏ trong 4 ngày. Một con dêăn hết một xe cỏ trong 6 ngày. Một con cừuăn hết một xe cỏ trong 12 ngày. Hỏi cả ba conăn hết một xe cỏ trong bao lâu. 6
  7. Sigma - MATHS Bài 1.2.4Vận tốc riêng của ca nô là 21 km/h, vận tốc dòng sông là 3 km/h. Hỏivới thời gian ca nô chạy ngược dòng được 30 km/h thì ca nô chạy xuôi dòng được bao nhiêu km? Bài 1.2.5 Hai bà buôn gạo hết cùng một số tiền. Bà thứ nhất mua loại 4000 đồng/kg, bà thứ hai mua loại 4800 đồng/kg. Biết bà thứ nhất mua nhiều hơn bà thứ hai là 2kg. Hỏi mỗi bà mua bao nhiêu kilogam gạo? Bài 1.2.6Một ô tô dự định chạy từA đến B trong thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 54 km/h thì đến nơi sớm hơn 1 giờ. Nếu chạy với vận tốc 63 km/h thì đến nơi sớm hơn 2 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự địnhđi. Bài 1.2.7 Để làm xong một công việc thì 21 công nhân cần làm trong 15 ngày. Do cải tiến công cụ lao động nên năng xuất lao động củamỗi người tăng thêm 25%.Hỏi 18 công nhân làm trong bao lâu thì xong công việcấy. 1.2.2 Hàm số và đồ thịcủa hàm số. Bài 1.2.8Một chiếc tàu ngầm chạy với vận tốc không đổi là 37 km/h ở độ sâu 100 m so với mực nước biển. a. Viết hàm sốf mô tảsự phụ thuộc giữa quãng đườngs (tính bằng km) và thời giant (tính bằng giờ) mà tàu ngầmđãđi. b. Viết hàm sốg mô tảsự phụ thuộc giữa độ sâuh (tính bằng m) của tàu ngầm so với mực nước biển và thời giant (tính bằng giờ). Tínhg(2), g(3, 5). Bài 1.2.9 Cho hàm sốf(x)=4x 2 5 − 1 a. Tínhf(3), f( − ) 2 b. Tìmx đểf(x)= 1 − c. Chứng tỏrằng vớix R thìf(x)=f( x) ∈ − Bài 1.2.10 Viết công thức của hàm sốy=f(x) biết rằngytỉlệ thuận vớix theo hệsố 1 tỉlệ  2 a. Tínhx đểf(x)= 5 − b. Chứng tỏrằng nếux 1 > x2 thìf(x 1)>f(x 2) Bài 1.2.11 Viết công thứccủa hàm sốy=f(x) biếtrằngytỉlệ nghịch vớix theo hệsố tỉlệ 12 a. Tínhx đểf(x)=4, f(x)=0 b. Chứng tỏrằngf( x) = f(x). − − 1 Bài 1.2.12 Cho hàm sốy= − x 3 7
  8. Sigma - MATHS a. Vẽ đồ thị hàm số. b. Trong cácđiểmM( 3, 1),N(6, 2),P (9, 3)điểm nào thuộc đồ thị hàm số (không vẽ − − lên đồ thị). Bài 1.2.13Vẽ giá trị hàm sốy=f(x)=05xvới 2 x 6.Vẽ đồ thị hàm sốrồi − ≤ ≤ dùng đồ thị để tìm giá trịlớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số này. 18 Bài 1.2.14 Cho các hàm sốy=f(x)=2x vày=g(x) =  Không vẽ đồ thịcủa x chúng, hãy tính tọa độ giaođiểm của hai đồ thị. 1.3 Biểu thức đại số. Bài 1.3.1 Tính giá trịcủa các biểu thức sau: a.A=(x + 1)(x 2 2)tạix= √2 − 2x2 + 3x 2 b.B= − tại x =3 x+2 | | 1 1 c.C=9x 2 7x y y3 tạix= ;y= 6 − | |− 4 3 − 5x2 + 3y2 x y d.D= với =  10x2 3y 2 3 5 − z x y e.E = (1 + )(1 + )(1 + )với x,y,z= 0, x+y+z=0 x y z 6 Bài 1.3.2 Thugọn các đơn thức sau rồi xác định hệsố, phần biến, và bậc của đơn thức (a, b, c là hằng số). 3 a.A = (2a 3b2x4y)3 − b5x2y2z3  10 ( ) 1 5 b. − (a 1)x 3y4z2  2 − ( ) 5 2 2 n 1 3 4 7 n c.(a b xy z − )( b cx z − ) − 9 5 3 d. − a3x2y  − ax5y2z  10 3 ( ) ( ) Bài 1.3.3 Cho ba đơn thứcA= ab 2x4y3,B= ax 4y3,C=b 2x4y3 Những đơn thức nào đồng dạng với nhau nếu: a. a, b là hằng số khác 0, x, y là biến. b.a là hằng số khác 0, b, x, y là biến. 8
  9. Sigma - MATHS c.b là hằng số khác 0, a, x, y là biến. Bài 1.3.4 Thugọn các đơn thức sau rồi xác định bậc của đơn thức(a, b là các hằng số). a.A= ax 4y3 + 10xy2 + 4y3 2x 4y3 3xy 2 + bx3y4 − − b.B=4x(x+y) 5(y(x y)) 4x 2 − − − c.C=(a 1)(x 2 + 1) x(y + 1) +x+y 2 a+1 − − − 7 6 1 d.D= x3y2  axy3 + ( 5bx2y4) − axz + ax(x2y)3 9 11 − 2 ( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 2 n 9 9 n (3x y )  x y + (8x − )( 2x − ) 6 − e.E= ( )  15x3y2(0,4ax 2y2z2) Bài 1.3.5 Tìm nghiệm của cácđa thức: a.(x 3)(4 5x) − − b.x 2 2 − c.x 2 + 3 d.x 2 + 2x e.x 2 4x+4 − f.x 2 + 2x 3 − Bài 1.3.6 Thugọn rồi tìm nghiệm của cácđa thức sau: a.f(x)=x(1 2x) + (2x 2 x + 4) − − b.g(x)=x(x 5) x(x + 2) + 7x − − c( )h(x)=x(x 1) + 1 ∗ − Bài 1.3.7 Xác định hệsốm để cácđa thức sau nhận 1 là nghiệm. a. mx2 + 2x+8 b.7x 2 +mx 1 − c.x 10 3x 2 +m − Bài 1.3.8 Cho cácđa thứcf(x) = ax+ b, g(x) = bx+a Chứng minh rằng nếux 0 là 1 nghiệm củaf(x) thì là nghiệm củag(x) x0 Bài 1.3.9 Cho biết(x 1)f(x)=(x+4)f(x + 8) thỏa mãn với mọix. Chứng minh rằng − f(x) có ít nhất hai nghiệm. n n 1 Bài 1.3.10 Chođa thứcf(x) = ax +a n 1x − ++a 1x+a 0. Hãy chỉ rađiều kiện − của các hệsốcủađa thức trên để: a.f(x) nhậnx=1 là nghiệm. b.f(x) nhậnx= 1 là nghiệm. − 9
  10. Chương 2 HÌNH HỌC 2.1 Quan hệ vuông góc và quan hệ song song. Bài 2.1.1 Trên hình vẽ trên cho biết xAC+ ACD̂+ CDy = 3600. Chứng minh rằng AxDy Bài 2.1.2 Trên hình vẽ bên cho biết xAC+ yBC ACB = 1800. − Chứng minh rằng AxBy Bài 2.1.3 Trên hình vẽ bên cho biết ACB > xAC, AxBy. Chứng minh rằng ACB = xAC+ CBy Bài 2.1.4 Biết AxBy và yBC > ACB  Chứng minh rằng yBC= xAC+ ACB  10
  11. Sigma - MATHS Bài 2.1.5 Biết AxCy và xAB+ ABC > 1800 Chứng minh rằng xAB+ ABC + BCy = 3600 Bài 2.1.6 Biết AxBy và ACB < yBC Chứng minh rằng xAC+ yBC ACB = 1800 − Bài 2.1.7 Biết xAC+ ACD̂ CDy = 1800 − Chứng minh rằng AxCy Bài 2.1.8 BiếtAzBt Chứng minh rằng xOy= xAz+ yBt ̂ ̂ ̂ Bài 2.1.9 Biết AxCy Chứng minh rằng xAB+ ABC BCy = 1800 − Bài 2.1.10 Biết AB AC và ACD̂ = 1100, CDÊ = 550, DEF̂ = 350 ⊥ Chứng minh rằngABEF 2.2 Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác. Bài 2.2.1 Nhìn vào bảng hãy chỉ ra những cặp tam giác bằng nhau. 11
  12. Sigma - MATHS a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 12
  13. Sigma - MATHS k) l) Bài 2.2.2 Cho hình vẽ cóAB= CD, AD=BC. Chứng minhABCD, ADBC Bài 2.2.3 Cho hình vẽ có ABCD, AB=CD. Chứng minhAD=BC và ADBC Bài 2.2.4 Cho tam giác ABC cóM,Nlần lượt là trungđiểm của AB, AC. Chứng minh BC MNBC vàMN=  2 Bài 2.2.5 Cho tam giác ABC cân tạiAM là trungđiểmcủaBC. Chứng minhAB AC. ⊥ Bài 2.2.6 Cho tam giác ABC vuông tạiAM là trungđiểm của BC. Chứng minh BC BC AM= Từ đó hãy chỉ ra rằng: Nếu B = 300 thìAC=  2 2 Bài 2.2.7 Cho tam giác ABC cóAD AB, AD=AB, AC AE, AC=AEM là trung DE ⊥ ⊥ điểmBC. Chứng minhAM= vàDE DE 2 ⊥ Bài 2.2.8 Cho góc xAy=60 0, Az là tia phân giác của góc xAy, BCAy Chứng minh 2BD=AC Bài 2.2.9 Cho tam giác ABC có BC=2AB, MB=MC, DB= DM Chứng minh AC=2AD. Bài 2.2.10 Cho xAy = 900, Oz là tia phân giác của góc xOy, AB Ox, AC Oy, AE là ⊥ ⊥ tia phân giác của góc CAD̂. Chứng minhAD=CE+BD ̂ ̂ 13
  14. Sigma - MATHS 2.3 Các bài toán dựng hình cơbản. Bài 2.3.1Dựng tia phân giác của một góc cho trước. Bài 2.3.2Dựng đường trung trực của mộtđoạn thẳng cho trước. Bài 2.3.3Dựng trungđiểm của mộtđoạn thẳng cho trước. Bài 2.3.4Dựng đường thẳng quađiểm A và vuông góc với đường thẳng d trong các trường hợp sau. a.A d ∈ b.A d ∈ Bài 2.3.5Dựng đường thẳng quađiểmM không thuộcd và song song với đường thẳng d. Bài 2.3.6Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh cho trước. Bài 2.3.7Dựng một tam giác biết hai cạnh và một góc xen giữa hai cạnhđó. Bài 2.3.8Dựng một tam giác biết hai cạnh và một góc xen giữa hai cạnhđó. Bài 2.3.9Dựng một tam giác biết hai góc kề nhau và một cạnh chung của hai gócđó. Bài 2.3.10 Cho tam giác ABC. Dựng mộtđiểm thỏa mãn các trường hợp sau: a. Cách đều ba cạnh của một tam giác ABC. b. Cách đều ba đỉnh của tam giác ABC 2.4 Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. Bài 2.4.1 Cho tam giác ABCvớiM là trungđiểm củaBC. Chứng minh rằng BAM̂ 2AM Bài 2.4.3 Cho hai tam giác∆ABC và∆A ′B′C′ và AB=A ′B′, AC=A ′C′. Chứng minh rằngBC>B ′C′ khi và chỉ khi A > A′ Bài 2.4.4 Cho tam giác ABC cóBD AC, AB CE,(D AC, E AB). Chứng minh ⊥ ⊥ ∈ ∈ AB AC >BD CE − − Bài 2.4.5 Cho tam giác ABC cân tạiA, trên cạnhABlấyđiểmD, trên tia đối của tia CAlấyđiểmE sao choBD=CE Chứng minh rằngBC<DE 14
  15. Sigma - MATHS Bài 2.4.6 Cho tam giác ABC,điểmMnằm trong tam giác ABC Chứng minhMB+ MC MB+MC Bài 2.4.8 Cho góc xAy = 600,Bnằm trên tia Ax,Cnằm trên tia Ay. Chứng minh rằngAB+AC 2BC ≤ ̂ Bài 2.4.9 Cho tam giác ABC vuông tạiA, vẽAH BCtạiH. Chứng minh rằngBC+ ⊥ AH > AB+AC Bài 2.4.10 Cho tam giác∆ABC có BC là cạnh lớn nhất vàM là trungđiểm củaAC ĐiểmDnằm trênđoạnBM(D=B). Chứng minh BDĈ > 900. 6 2.5 Quan hệ các đường thẳng đồng quy trong tam giác. 2.5.1 Ba đường trung tuyến của tam giác. Bài 2.5.1 Cho tam giác ABC, đường caoAH. Trên tia đối của tiaHAlấyđiểmD sao choHA=HD. Trên tia đối của tiaCBlấyđiểmE sao choCE=CB a. Chứng minh rằngC là trọng tâm tam giác ADE b. TiaACcắtDEtạiM Chứng minh rằng AEHM Bài 2.5.2 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Chứng minh rằng BC a. NếuAM thì A nhọn. 2 Bài 2.5.3 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyếnBM vàCN. Biết AB < AC. Chứng minh rằngBM<CN Bài 2.5.4 Chứng minh rằng trong một tam giác, tổng độ dài ba đường trung tuyến lớn 3 hơn chu vi và nhỏhơn chu vi tam giácđó. 4 Bài 2.5.5 Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờBC không chứađiểm A,vẽ tia Bx. Trên nửamặt phẳng bờBC có chứađiểmA,vẽ tiaCy sao choCyBx Trên Bx, Cy lần lượt lấy haiđiểmD vàE sao cho BD=CE. GọiG là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minhGcũng là trọng tâm tam giác ADE 15
  16. Sigma - MATHS 2.5.2 Ba đường phân giác của tam giác. Bài 2.5.6 Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng hai đường phân giác ngoài của gócB và gócC cùng với đường phân giác trong gócA đồng quy. Bài 2.5.7 Cho góc xOy.LấyđiểmA trênOx, lấyđiểmB trênOy.Vẽ các tia phân giác của các góc BAx và ABycắt nhau tạiMTừMvẽmột đường thẳng vuông góc vớiOM cắt Ox,OytạiC vàD. Chứng minh tam giác OCD cân. Bài 2.5.8 Cho tam giác ABC có B = 1200, phân giácBD vàCE Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnhAcủa tam giác ABCcắt đường thẳngBCtạiF Chứng minh rằng ADF̂= BDF̂ và D,E,F thẳng hàng. Bài 2.5.9 Cho tam giác ABC, các tia phân giác gócB vàCcắt nhau tạiO. TừAvẽ đường thẳng vuông góc vớiOAcắt các tiaBO vàCOlần lượt tạiM vàN Chứng minh BM BN vàCM CN ⊥ ⊥ Bài 2.5.10 Cho tam giác ABC, B = 450, đường cao AH, phân giác BD Cho biết BDÂ=45 0 Chứng minh rằngHDAB  2.5.3 Ba đường trung trực của tam giác. Bài 2.5.11 Cho tam giác ABC Trên cạnhCAlấyđiểmE sao choCE=AB Các đường trung trực củaBE vàACcắt nhau tạiO. Chứng minh rằng: a.∆AOB=∆COE b. AO là tia phân giác của gócA Bài 2.5.12 Cho tam giác ABC. TìmđiểmE thuộc đường phân giác của góc ngoài tại đỉnhA sao cho tam giác EBC có chu vi nhỏ nhất. Bài 2.5.13 Cho tam giác nhọn ABC. TìmđiểmM thuộcBC sao cho nếu vẽ cácđiểm D, E trongđóAB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực củaME thì DE có độ dài nhỏ nhất. Bài 2.5.14 ChođiểmAnằm trong góc nhọn xOyTìmđiểmB thuộc tia Ox,điểmC thuộc tiaOy sao cho ABC có chu vi nhỏ nhất. ̂ Bài 2.5.15 Cho tam giác ABC cân tạiAĐiểm D,E theo thứtự di chuyển trên cạnh AB và AC sao choAD=CE Chứng minh rằng các đường trung trực của DE luônđi qua mộtđiểm cố định. 2.5.4 Ba đường cao của tam giác. Bài 2.5.16 Cho tam giác ABC cân tạiA, trung tuyến AM, đường caoBE Trên tiaBE lấyđiểmF sao choBF=CE Chứng minh rằng ba đường thẳngBE, CF vàAM cùng đi qua mộtđiểm. 16
  17. Sigma - MATHS Bài 2.5.17 Cho tam giác nhọn ABC,hai đường cao BD,CEgặp nhau tạiHVẽ điểm K sao choAB là trung trực củaHK Chứng minh rằng KAB̂= KCB̂ Bài 2.5.18 Tam giác ABC có cạnhBC là cạnh lớn nhất. Trên cạnhBClấyđiểmD và E sao cho BD=BA vàCE=CA Tia phân giác của gócBcắtAEtạiMTia phân giác của gócCcắtADtạiN. Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC vuông góc vớiMN Bài 2.5.19 Cho tam giác ABC vuông tại A,vẽ đường caoAHGọi M,Nlần lượt là trungđiểm củaAH vàHC Chứng minh rằngBM AN ⊥ Bài 2.5.20 Cho tam giác ABC đường caoAH Trên nửa mặt phẳng chứađiểmAbờ là đường thẳng BClấyđiểm D,E sao cho BD BA, BD= BA,CE CA, CE=CA ⊥ ⊥ Chứng minh rằng các đường thẳng AH,BE,CD đồng quy. 2.6 Các bài toán có nội dung tính góc. Bài 2.6.1 Tính các góc của tam giác ABC biết đường caoAH và đường trung tuyến AM chia gócA thànhA thành ba góc bằng nhau. Bài 2.6.2 Cho tam giác ABC có B = 450, C = 1200. Trên tia đối của tiaCBlấyđiểm D sao choCD=2CB Tính số đo góc ADB   Bài 2.6.3 Cho tam giác ABC vuôngởA và B = 750 Trên tia đối của tia ABlấyđiểm H sao choBH=2AC Tính số đo của góc AHC  Bài 2.6.4 Cho tam giác ABC có A = 500, B = 200. Trên đường phân giácBEcủa tam giác ta lấyđiểmF sao cho F AB = 200.GọiN là trungđiểm AF, ENcắtABtạiK Tính số đo KCB̂.   Bài 2.6.5 Tính các góc của tam giác cân ABC biết rằng trên cạnh ABlấyđiểmD sao choAD=DC=CB Bài 2.6.6 Cho tam giác ABC cân tạiA có A = 200 Trên nửamặt phẳng không chứaB có bờ AC,vẽ tiaCx sao cho ACx = 600, trên tiaấy lấyđiểmD sao choCD=CB Tính ADĈ  17
  18. Chương 3 LỜI GIẢIMỘT VÀI BÀI CHỌN LỌC Bài 1.1.3. d. Lời giải. Giả thiết bài toán ta có x, y, z cùng dấu. x y z x2 y2 z2 x2 +y 2 z 2 65 Ta có: = = suy ra = = = − = = 1 5 7 3 25 49 9 25 + 49 9 65 − x2 = 1 25  x= 5  2  y ± Vậy ta có:  = 1 y= 7 49 ⇔ ±  z= 3 ± 2 z   = 1   9   x=5 x= 5  − Do x, y, z cùng dấu nên y=7 hoặc y= 7 là các giá trị phải tìm.   − z=3 z= 3 −   Bài 1.1.8.Lời giải. Ta có: 2a+b+c+d a+2b+c+d a+b+2c+d a+b+c+2d 1= 1= 1= 1 a − b − c − d − a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d = = = = a b c d Trường hợp 1Nếua+b+c+d=0 thìM=( 1) + ( 1)+( 1) + ( 1) = 4 − − − − − 1 1 1 1 Trường hợp 2Nếua+b+c+d= 0 thì = = =  Khiđó,a=b=c=d. 6 a b c d 2a VậyM=4 = 4 2a  18
  19. Sigma - MATHS Nhận xét:Nhìn vào hệsốcủa a, b, c, d và sự bình đẳng vềbậc của a, b, c, d trong giả thiết bài toán ta có thểmởrộng bài toán như sau: Bài toán 1 Cho số tùy ýα= 0 và cho dãy tỉsốbằng nhau: 6 (α + 1)a+b+c+d a+(α + 1)b+c+d a+b+(α + 1)c+d a+b+c+(α + 1)d = = = . a b c d a+b b+c c+d d+a Tìm giá trịcủa biểu thứcM, biếtM= + + +  c+d d+a a+b b+c Bài toán 2 Cho dãy tỉsốbằng nhau: (α + 1)a+b+c+d a+(α + 1)b+c+d a+b+(α + 1)c+d a+b+c+(α + 1)d = = = . αa αb αc αd a+b b+c c+d d+a Tìm giá trịcủa biểu thứcM, biếtM= + + +  c+d d+a a+b b+c Bài toán 3 Cho số tùy ýα vàm là số nguyên dương chẵn và cho dãy tỉsốbằng nhau: αam +b m +c m +d m am +αb m +c m +d m am +b m +αc m +d m am +b m +c m +αd m = = = . am bm cm dm a+b b+c c+d d+a Tìm giá trịcủa biểu thứcM, biếtM= + + +  c+d d+a a+b b+c Bài 1.1.11.Lời giải. a2 a2 b2 x a2 Từ giả thiết ta có:x= , y=  Suy ra = k = k k y b2 b2  k Bài 1.1.18.Lời giải. Từ giả thiết tồn tại sốk không phụ thuộc vàox vày đểA= ka, B= kb, C=kc. Ax+By+Cz kax+ kby+ kcz KhiđóQ= = =k ax+ by+ cz ax+ by+ cz  Bài 1.2.5.Lời giải. Bà thứ nhất muax cân gạo thì bà thứ hai mua(x 2) cân gạo(x >2). − Bà thứ nhất mua hết số tiền là: 4000x(đồng). Bà thứ hai mua hết số tiền là: 4800(x 2)(đồng). − 48002 Theo bài ra thì 4000x = 4800(x 2) x= = 12 − ⇔ 800 Vậy bà thứ nhất mua 12 cân gạo. và bà thứ hai mua 10 cân gạo.  Bài 1.2.8.Lời giải. 19
  20. Sigma - MATHS a.f(t)=s = 37t b.g(t)=h= 100Vậy :g(2) =g(35) = 100 − −  Bài 1.3.10.Lời giải. n n 1 a.x=1 là nghiệm a n1 +a n 11 −   +a 11 +a 0 = 0 a n +a n 1 ++a 1 +a 0 = 0 ⇒ − ⇔ − n n 1 b.x= 1 là nghiệm a n( 1) +a n 1( 1) −   +a 1( 1) +a 0 = 0 − ⇒ − − − − Bài 2.1.7.Lời giải. Ta kẻCEAx suy ra xAC+ ACE = 1800. Theo giả thiết suy ra xAC+ACD̂ CDy= xAC+ACE  − Mà ACD̂= ACE + ECD̂ Nên xAC+ ACE + ECD̂ CDy= xAC+ ACE  − Suy ra ECD̂ CDy=0 hay ECD̂= CDy (hai − gócởvị trí so le trong). DođóCEDy. Mà tađã có AxCE,vậy AxDy Bài 2.4.8.Lời giải. Kẻ tia phân giác Azcủa góc xAy. KẻBF Az, CE AZ. ⊥ ⊥ Xét tam giác vuôngCAE có cạnhCE đối diện với góc 300 suy raAC=2CE Xét tam giác vuông BAF có cạnhBF đối diện với góc 300 suy raAB=2BF Dođó AB+ AC = 2(CE+BF).Mặt khácCE < CD, BF < BD nênAB+ AC < CD+BD=BC. VậyAB+AC=2BC  Bài 2.6.5.Lời giải. Gọi BAC =x. Tam giác ADC cân tạiD nên ACD̂=x. Suy ra DBĈ= ABC =2x (tam giác BDC cân tạiC). Xét tam giác ABC cóx+2x+2x = 180 0 x=36 0 ⇒ Vậy tam giác ABC có A = 360, B= C = 720    20